Sphärisch-astronomisches Grunddreieck

Die Betrachtungen der Koordinatensysteme bringen uns unserem Ziel der Positionsbestimmung noch nicht sehr nahe.

Wir haben zwar drei verschiedene Koordinatensysteme kennengelernt, doch wie können wir daraus Rückschlüsse auf unsere Position erhalten?

Wir müssen die Koordinatensysteme in Einklang bringen und die dort vorkommenden Größen beschreiben.

• Wir können mit dem Sextanten den Winkel zwischen Gestirn und Kimm messen und daraus mit der Höhenbeschickung die wahre Höhe des Gestirns ermitteln.
• Weiterhin können wir unter Kenntnis der genauen Uhrzeit aus dem nautischen Jahrbuch die Werte für den Greenwicher Stundenwinkel $Grt$ und die Deklination ablesen.
• Weitere Koordinaten sind die Breite und die Länge des Schiffsortes.

Breite und Länge sind eigentlich nicht bekannt und die gesuchten Größen. Wir werden aber sehen, dass es zweckmäßig ist, Länge und Breitengrad zu schätzen und als Ergebnis der astronavigatorischen Aufgabe Richtung und Distanz zu diesem angenommenen Ort zu ermitteln (Höhendifferenzverfahren).

Unter der Tatsache, dass die Lage des Himmelsnordpols ebenfalls bekannt ist, kann man die genannten Größen auf der Himmelskugel und der Erdkugel einzeichnen und erhält zwei sphärische Dreiecke.

Auf der Himmelskugel gebildet durch:

• Zenit
• Himmelsnordpol
• Gestirn

Auf der Erde gebildet durch:

• Standort
• Nordpol bzw. Südpol
• Bildpunkt des Gestirns

Da bei sphärischen Dreiecken nur Winkel betrachtet werden, können die Dreiecke als gleich angesehen werden.

Eine Betrachtung der Seiten und Winkel in Bezug auf die zuvor diskutierten Koordinatensysteme ergibt:

1. Koordinatensystem der Erde

Die Seite $a$ ist die Differenz $90^\circ -$ geographische Breite und wird auch Breitenkomplement bezeichnet.

$$a = 90^\circ - \varphi$$

Der Winkel $\gamma$ bezeichnet den halbkreisigen Ortsstundenwinkel $t_E$ bzw. $t_W$.

Den vollkreisigen Ortsstundenwinkel $t$ erhalten wir nach $t = t_W$ bzw. $t = 360^\circ - t_E$, je nachdem wie Standort und Bildpunkt zueinander liegen.

2. Koordinatensystem des Himmels

Die Seite $b$ ist die Differenz $90^\circ -$ Deklination und wird auch als Poldistanz bezeichnet.

$$b = 90^\circ - \delta$$

3. Koordinatensystem des Wahren Horizonts

Die Seite $c$ ist die Differenz $90^\circ -$ Wahre Höhe und wird auch Zenitdistanz bezeichnet.

$$c = 90^\circ - h$$

Der Winkel $\beta$ bezeichnet den Winkel zwischen Gestirn und Nordpol, also das Azimut.

Dieses sphärische Dreieck lässt sich mathematisch beschreiben.

Unter Anwendung des Kosinus-Seitensatzes erhalten wir:

$$\cos(c) = \cos(a)\cdot \cos(b) + \sin(a)\cdot \sin(b)\cdot \cos(\gamma)$$

Wenn die oben angeführten Zusammenhänge eingesetzt werden, lassen sich die Formeln so umformen, dass die Höhe $h$ und das Azimut $Az$ (bzw. quadrantal $Z$) berechnet werden können:

$$\sin(h) = \sin(\varphi)\cdot \sin(\delta) + \cos(\varphi)\cdot \cos(\delta)\cdot \cos(t)$$

Als Zeitazimut, wenn die Zeit und damit der Ortsstundenwinkel $t$ bekannt sind:

$$\tan(Z) = \frac{-\sin(t)}{\cos(\varphi)\cdot \tan(\delta) - \sin(\varphi)\cdot \cos(t)}$$

Als Höhenazimut, wenn die Höhe bereits bekannt ist:

$$\cos(Z) = \frac{\sin(\delta) - \sin(h)\cdot \sin(\varphi)}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi)}$$

Als Zeit-Höhenazimut, wenn Höhe und Zeit bekannt sind:

$$\sin(Z) = \frac{\cos(\delta)}{\cos(h)}\cdot \sin(t)$$

In der Astronavigation wird überwiegend mit dem Zeitazimut gearbeitet.

Um vom quadrantalen $Z$ zum vollkreisigen Azimut $Az$ zu kommen, müssen weitere Regeln angewendet werden. Die $\arctan$-Funktion ergibt nur Werte zwischen $-90^\circ$ und $+90^\circ$.

Folgende Regeln sind anzuwenden:

• Ist das Azimut negativ, so sind zu $Z$ $180^\circ$ zu addieren.
• Ist der Ortsstundenwinkel kleiner als $180^\circ$, so sind zu $Z$ weitere $180^\circ$ zu addieren.

Eine alternative Schreibweise (häufig in Formelsammlungen):

• $t > 180^\circ$: $0^\circ \le Az \le 180^\circ$
• $t < 180^\circ$: $180^\circ \le Az \le 360^\circ$