Für Gestirne, die nahezu im Osten oder Westen stehen, man sagt auch, diese Gestirne stehen im ersten Vertikal, kann die Länge auch über die Messung der Höhe ermittelt werden.

Das Verfahren basiert auf der genauen Zeitnahme, daher auch sein Name, und daraus der Ermittlung des Greenwicher Stundenwinkels sowie der Deklination δ\delta. Aus der beobachteten Höhe wird der Ortsstundenwinkel berechnet. Dazu wird aus dem sphärisch-astronomischen Grunddreieck folgende Formel hergeleitet:

cos⁡(tE,W) = sin⁡(h)−sin⁡(φ)⋅sin⁡(δ)cos⁡(φ)⋅cos⁡(δ)\cos (t_{E,W})\ =\ \frac{\sin (h)-\sin (\varphi )\cdot \sin (\delta )}{\cos (\varphi )\cdot \cos (\delta )}

oder bei logarithmischer Berechnung

sem(tE,W) = sin⁡(z+z02)⋅sin⁡(z−z02)⋅1cos⁡(φ)⋅1cos⁡(δ)\mathit{sem}(t_{E,W})\ =\ \sin \left(\frac{z+z_0}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{z-z_0}{2}\right)\cdot \frac{1}{\cos (\varphi )}\cdot \frac{1}{\cos (\delta )}

mit z0=∣φ−δ∣z_0 = |\varphi - \delta|.

Aus der wahren Höhe hh, der Breite φ\varphi sowie der Deklination δ\delta lässt sich der halbkreisige Ortsstundenwinkel ermitteln.

Die wahre Höhe hh entspricht der beobachteten Höhe hBh_B, also der Sextantablesung mit den üblichen Korrekturen.

Die Breite ist die gegißte beziehungsweise gekoppelte Breite φK\varphi_K.

Die Deklination δ\delta kann für den Beobachtungszeitpunkt aus dem Nautischen Jahrbuch abgelesen werden.

Die Chronometerlänge λCH\lambda_{\mathit{CH}} ergibt sich dann aus dem Vergleich des beobachteten Ortsstundenwinkels nach oben angeführter Formel sowie des Greenwicher Stundenwinkels aus dem Nautischen Jahrbuch für den Beobachtungszeitpunkt.

Aus Grt+λ=tGrt + \lambda = t wird:

λCH = t−Grt\lambda _{\mathit{CH}}\ =\ t-\mathit{Grt}

Wenn die Chronometerlängenbestimmung für Gestirne durchgeführt wird, die exakt im ersten Vertikal stehen, die also genau östlich mit Az=090∘Az = 090^\circ oder genau westlich mit Az=270∘Az = 270^\circ peilen, dann kann aus der oben angestellten Überlegung direkt die Standlinie als Meridian eingezeichnet werden.

Da die Messung aber in der Regel mit Gestirnen durchgeführt wird, die nahezu im ersten Vertikal stehen, zum Beispiel 080° bis 100° beziehungsweise 260° bis 280°, muss die Standlinie anders konstruiert werden.

Die Standlinie wird in jedem Fall senkrecht zum Azimut des Gestirns verlaufen. Dieses muss also zunächst ermittelt werden.

Aus der wahren Höhe hh, der Breite φ\varphi sowie der Deklination δ\delta lässt sich auch nach der Höhenazimutformel das Azimut berechnen:

cos⁡(Z) = sin⁡(δ)−sin⁡(h)⋅sin⁡(φ)cos⁡(h)⋅cos⁡(φ)\cos (Z)\ =\ \frac{\sin (\delta )-\sin (h)\cdot \sin (\varphi )}{\cos (h)\cdot \cos (\varphi )}

Alternativ kann auch die Formel für das Zeitazimut angewendet werden, wenn anstatt der wahren Höhe der Ortsstundenwinkel tt eingesetzt wird:

tan⁡(Z) = −sin⁡(t)cos⁡(φ)⋅tan⁡(δ)−sin⁡(φ)⋅cos⁡(t)\tan (Z)\ =\ \frac{-\sin (t)}{\cos (\varphi )\cdot \tan (\delta )-\sin (\varphi )\cdot \cos (t)}

In den Leitpunkt, der aus der Koppelbreite φK\varphi_K und der Chronometerlänge λCH\lambda_{\mathit{CH}} gebildet wird, wird nun der Azimutstrahl angetragen und senkrecht dazu, durch den Leitpunkt, die Standlinie gezeichnet.

Beispiel

Am 15.06.2005 wird auf dem Koppelort φK=42∘56′ N\varphi_K = 42^\circ 56' \ \mathrm{N}, λK=023∘45′ W\lambda_K = 023^\circ 45' \ \mathrm{W} um 18.15.12 UT1 der Sonnenunterrand im Westen am Sextanten mit 30° 02’ gemessen. Ah=2 mAh = 2\,m, Ib=0′Ib = 0'.

Die Standlinie ist nach dem Chronometerlängenverfahren zu konstruieren.

Bestimmung von Grt und Deklination δ\delta

Grt18.00.00 89° 52,0′
+ Zuwachs 3° 48,0′
Grt18.15.12 93° 40,0′
δ 23° 20,1′ N

Berechnung der beobachteten Höhe hbh_b aus der Sextantablesung SA

SA 30° 02,0′
+ Ib 0,0′
KA 30° 02,0′
+ Gb/Zb + 11,7′
hb 30° 13,7′

Berechnung des Ortsstundenwinkels

cos⁡(tE,W) = sin⁡(h)−sin⁡(φ)⋅sin⁡(δ)cos⁡(φ)⋅cos⁡(δ)\cos (t_{E,W})\ =\ \frac{\sin (h)-\sin (\varphi )\cdot \sin (\delta )}{\cos (\varphi )\cdot \cos (\delta)} cos⁡(tE,W) = sin⁡(30∘13,7′)−sin⁡(42∘56′)⋅sin⁡(23∘20,1′)cos⁡(42∘56′)⋅cos⁡(23∘20,1′)\cos (t_{E,W})\ =\ \frac{\sin (30{}^{\circ}13{,}7')-\sin (42{}^{\circ}56')\cdot \sin (23{}^{\circ}20{,}1')}{\cos (42{}^{\circ}56')\cdot \cos (23{}^{\circ}20{,}1')} cos⁡(tE,W) = 0,34747\cos (t_{E,W})\ =\ 0{,}34747

Die Sonne steht im Westen, also ist der Ortsstundenwinkel t=tW=69∘40′t = t_W = 69^\circ 40'.

Bestimmung der Chronometerlänge λCH\lambda_{\mathit{CH}}

Es gilt λ=t−Grt\lambda = t - Grt.

t 069° 40,0′
- Grt 093° 40,0′
λ (-) 024° 00,0′ W

Berechnung des Azimut

cos⁡(Z) = sin⁡(δ)−sin⁡(h)⋅sin⁡(φ)cos⁡(h)⋅cos⁡(φ)\cos (Z)\ =\ \frac{\sin (\delta )-\sin (h)\cdot \sin (\varphi )}{\cos (h)\cdot \cos (\varphi )} cos⁡(Z) = sin⁡(23∘20,1′)−sin⁡(30∘13,5′)⋅sin⁡(42∘45′)cos⁡(30∘13,5′)⋅cos⁡(42∘45′)\cos (Z)\ =\ \frac{\sin(23{}^{\circ}20{,}1')-\sin (30{}^{\circ}13{,}5')\cdot \sin (42{}^{\circ}45')}{\cos (30{}^{\circ}13{,}5')\cdot \cos (42{}^{\circ}45')} cos⁡(Z) = 0,0841256\cos (Z)\ =\ 0{,}0841256

Z=85,17∘≈85∘Z = 85{,}17^\circ \approx 85^\circ

Anwenden der Quadrantenregeln für das Höhenazimut: Ist der Ortsstundenwinkel kleiner als 180°, so ist das Azimut Az=360∘−ZAz = 360^\circ - Z.

Az=360∘−Z=275∘Az = 360^\circ - Z = 275^\circ

Standlinie

Standlinie Chronometerlänge

Fehlerbetrachtung

Jeder Fehler in der Zeitbestimmung von UT1 geht im vollen Umfang in die Ungenauigkeit der Längenbestimmung ein. Wird die Zeit um 1 s falsch bestimmt, so ist der ermittelte Längengrad um 0,25′ falsch.

Jeder Fehler in der Höhenbestimmung geht mindestens in seiner vollen Höhe in die Bestimmung des Ortsstundenwinkels ein:

Δt ≈ Δhcos⁡(φ)⋅sin⁡(Z)\Delta t\ \approx \ \frac{\Delta h}{\cos (\varphi )\cdot \sin (Z)}

Der Fehler wird umso größer, je mehr sich das Gestirn aus West- beziehungsweise Ostrichtung entfernt; er wird ebenso mit wachsender Breite größer.

Ist die Koppelbreite falsch, so hat das auch Einfluss auf die Längenbestimmung. Für Gestirne, die genau im Westen oder Osten stehen, die sich also genau auf dem ersten Vertikal befinden, hat ein Fehler in der Breite keinen Einfluss auf die Längenbestimmung. Der Fehler wird aber umso größer, je mehr sich das Gestirn aus West- beziehungsweise Ostrichtung entfernt; er wird ebenso mit wachsender Breite größer.

Δλ ≈ −Δφcos⁡(φ)⋅tan⁡(Az)\Delta \lambda \ \approx \ \frac{-\Delta \varphi }{\cos (\varphi )\cdot \tan (\mathit{Az})}

Beispiel

Im oben angeführten Beispiel für die Bestimmung nach Chronometerlänge erhält man anschließend aus einer Beobachtung eines Gestirns im Meridian den Breitengrad φb=43∘08′ N\varphi_b = 43^\circ 08' \ \mathrm{N}. Der korrigierte Längengrad ist zu bestimmen:

φb 43° 08,0′ N
- φk 42° 56,0′ N
Δ φ 12,0′
Δλ ≈ −Δφcos⁡(φ)⋅tan⁡(Az)\Delta \lambda \ \approx \ \frac{-\Delta \varphi }{\cos (\varphi )\cdot \tan (\mathit{Az})} Δλ ≈ −12,0cos⁡(43∘08,0′)⋅tan⁡(275∘)\Delta \lambda \ \approx \ \frac{-12{,}0}{\cos (43{}^{\circ}08{,}0')\cdot \tan (275{}^{\circ})} Δλ ≈ +1,43′(E)\Delta \lambda \ \approx \ +1{,}43'(E)
λCH 24° 00,0′ W
+ Δ λ 1,4′ E
λCH 23° 58,6′ W

Anwendung des Verfahrens

Heute spielt dieses Verfahren keine Rolle mehr, da die gleiche Standlinie auch aus dem Höhendifferenzverfahren ermittelt werden kann. Das Höhendifferenzverfahren hat sich durchgesetzt, da es vielseitiger ist und nicht nur für Gestirne im ersten Vertikal anwendbar ist.

Zu den Zeiten, in denen die Berechnungen des Höhendifferenzverfahrens nur mühsam mittels Semiversus-Tabellen durchgeführt werden konnten, hat man sich der logarithmischen Berechnung oder spezieller Tafeln bedient, aus denen der Ortsstundenwinkel aus Breite, Deklination und Höhe entnommen werden konnte, zum Beispiel „Chronometer Tables or Hour Angles“ von P. L. H. Davis und andere.

Diese Tabellen sind heute alle nicht mehr verfügbar und werden auch nicht mehr neu aufgelegt.

Das Azimut wurde aus den ABC-Tafeln ermittelt, ebenso die Korrektur bei Breitenunterschieden. Der französische Seeoffizier Pagel hat dazu eine Berichtigungsmethode entwickelt, aus der die Richtung der Korrektur ermittelt werden kann, die Berichtigung nach Pagel.

Die Chronometerlänge wurde dann gemeinsam mit Mittagsbreite verwendet, um das Mittagsbesteck zu erhalten.