Herleitung der Formel

Die Herleitung der Formel für die Kimmtiefe ist analog der Formel für Feuer in der Kimm.

Geometrie der Kimmtiefe

Für die Sichtweite SS gilt:

S = R⋅tan⁡(α)S\ =\ R\cdot \tan (\alpha )

Da der Winkel sehr klein ist, kann man hier tan⁡(α)≈α\tan(\alpha) \approx \alpha setzen, das gilt für Winkel im Bogenmaß, und α\alpha ist gleich Kimmtiefe KtKt.

Daraus ergibt sich:

S ≈ R⋅KtS\ \approx \ R\cdot \mathit{Kt}

Weiterhin gilt die Dreieckbeziehung:

R2+S2 = (R+AH)2R^2+S^2\ =\ (R+\mathit{AH})^2

bzw.

R2+(R⋅Kt)2 = (R+AH)2bzw.   R2(1+Kt2) = (R+AH)2R^2+(R\cdot \mathit{Kt})^2\ =\ (R+\mathit{AH})^2 \mathit{bzw.}\ \ \ R^2(1+\mathit{Kt}^2)\ =\ (R+\mathit{AH})^2 Kt2 = R2+2⋅R⋅AH+AH2R2−1 = 2⋅R⋅AH+AH2R2\mathit{Kt}^2\ =\ \frac{R^2+2\cdot R\cdot \mathit{AH}+\mathit{AH}^2}{R^2}-1\ =\ \frac{2\cdot R\cdot \mathit{AH}+\mathit{AH}^2}{R^2}

Da AH2AH^2 sehr klein im Verhältnis zu 2⋅R⋅AH2 \cdot R \cdot AH ist, wird dieser Summand vernachlässigt:

Kt2 ≈ 2⋅R⋅AHR2 = 2R⋅AH\mathit{Kt}^2\ \approx \ \frac{2\cdot R\cdot \mathit{AH}}{R^2}\ =\ \frac{2}{R}\cdot \mathit{AH}

bzw.

Kt[rad] ≈ 2R⋅AH = 2R⋅AH\mathit{Kt}[\mathit{rad}]\ \approx \ \sqrt{\frac{2}{R}\cdot \mathit{AH}}\ =\ \sqrt{\frac{2}{R}}\cdot \sqrt{\mathit{AH}}

Die Umrechnung vom Bogenmaß in Winkelminuten erfolgt über den Faktor 10.800π\frac{10.800}{\pi}:

Kt[′] ≈ 10.800π⋅2R⋅AH = 1,9261277⋅AH\mathit{Kt}[']\ \approx \ \frac{10.800}{\pi }\cdot \sqrt{\frac{2}{R}}\cdot \sqrt{\mathit{AH}}\ =\ 1{,}9261277\cdot \sqrt{\mathit{AH}}

Das ist die rein geometrische Lösung.

Unter Berücksichtigung, dass man aufgrund der terrestrischen Refraktion etwa 8 % weiter sehen kann, ergibt sich anstatt 1,93′ ein Faktor von 1,78′ und somit:

Kt[′] ≈ 1,78⋅AH\mathit{Kt}[']\ \approx \ 1{,}78\cdot \sqrt{\mathit{AH}}

Messung der Kimmtiefe

Die Kimmtiefe kann mit zenitnahen Gestirnen mittels eines genau gehenden Sextanten überprüft werden.

Das Gestirn wird zweimal gemessen:

  • Einmal wird der Kimmabstand KA1KA_1 in Richtung des Gestirns gemessen. Spitzer Kimmabstand.
  • Bei der zweiten Messung wird in Gegenrichtung über den Zenit hinweg der Kimmabstand KA2KA_2 gemessen. Stumpfer Kimmabstand.

Da ein Sextant maximal Winkel bis 120° messen kann, muss KA1KA_1 entsprechend größer als 65° sein.

Messung von KA1 und KA2

Bei der Summe dieser beiden Messungen wird die Kimmtiefe zweimal mit gemessen:

KA1+KA2 = 180∘+2⋅Kt\mathit{KA}_1+\mathit{KA}_2\ =\ 180{}^{\circ}+2\cdot \mathit{Kt}

bzw.

Kt = KA1+KA2−180∘2\mathit{Kt}\ =\ \frac{\mathit{KA}_1+\mathit{KA}_2-180{}^{\circ}}{2}

Wird die Sonne gemessen, so wird bei der spitzen Messung der Unterrand gemessen, bei der stumpfen der Oberrand, so dass man quasi zweimal denselben Rand misst.

Messung mit der Sonne

KA1+KA2+2⋅rSonne = 180∘+2⋅Kt\mathit{KA}_1+\mathit{KA}_2+2\cdot r_{\mathit{Sonne}}\ =\ 180{}^{\circ}+2\cdot \mathit{Kt}

bzw.

Kt = KA1+KA2+2⋅rSonne−180∘2\mathit{Kt}\ =\ \frac{\mathit{KA}_1+\mathit{KA}_2+2\cdot r_{\mathit{Sonne}}-180{}^{\circ}}{2}

Weiterhin müssen wir berücksichtigen, dass die Messungen mit einem bestimmten zeitlichen Versatz erfolgen werden, in dem sich die Höhe des Gestirns verändern wird:

ΔhZ[′] = 15⋅Δt⋅sin⁡(Az)⋅cos⁡(φ)\Delta h_Z[']\ =\ 15\cdot \Delta t\cdot \sin (\mathit{Az})\cdot \cos (\varphi )

mit

  • Δt\Delta t: Zeitunterschied zwischen den Messungen, gemessen in Minuten
  • AzAz: Azimut
  • φ\varphi: Breitengrad

Wenn zwischen den Messungen eine Distanz zurückgelegt wird, muss ebenso die Höhenänderung durch Versegelung berücksichtigt werden:

ΔhV[′] = 160⋅Δt⋅v⋅cos⁡(Az−Ku¨G)\Delta h_V[']\ =\ \frac{1}{60}\cdot \Delta t\cdot v\cdot \cos (\mathit{Az}-\mathit{K\text{ü}G})

mit

  • Δt\Delta t: Zeitunterschied zwischen den Messungen, gemessen in Minuten
  • vv: Schiffsgeschwindigkeit in Knoten
  • AzAz: Azimut
  • Ku¨GK\text{ü}G: Kurs über Grund

Der Kimmabstand KA1KA_1 ist zu berichtigen:

KA1′ = KA1+ΔhZ+ΔhV\mathit{KA}_1'\ =\ \mathit{KA}_1+\Delta h_Z+\Delta h_V