Großkreisrechnung

Der kürzeste Weg zwischen zwei Orten auf der Erde führt über einen Großkreis. Die Fahrt auf dem Großkreis heißt Orthodrome. Für alle Großkreise gilt: Ein Winkelgrad entspricht $60\,\text{sm}$.

Die Rechnungen leiten sich aus dem terrestrisch-sphärischen Grunddreieck ab.

Bezeichnungen

Für das Dreieck mit Abfahrtsort $A$, Bestimmungsort $B$ und Pol $P_N$ gilt:

$$a = 90^\circ - \varphi_B$$ $$b = 90^\circ - \varphi_A$$

Die Seite $c$ ist der Winkelabstand auf dem Großkreis. Daraus ergibt sich die orthodromische Distanz.

Orthodromische Distanz

Nach dem Seitenkosinussatz:

$$\cos(c) = \sin(\varphi_A)\sin(\varphi_B) + \cos(\varphi_A)\cos(\varphi_B)\cos(\Delta \lambda)$$

Die Distanz in Seemeilen ist:

$$d_{GK} = \frac{c}{1^\circ} \cdot 60\,\text{sm}$$

Anfangs- und Endkurs

Für die Innenwinkel des sphärischen Dreiecks:

$$\cos(\alpha) = \frac{\sin(\varphi_B)-\sin(\varphi_A)\cos(c)} {\cos(\varphi_A)\sin(c)}$$ $$\cos(\beta) = \frac{\sin(\varphi_A)-\sin(\varphi_B)\cos(c)} {\cos(\varphi_B)\sin(c)}$$

Daraus folgen:

• bei Fahrt nach Osten:
  • $\alpha_{AK} = \alpha$
  • $\alpha_{EK} = 180^\circ - \beta$
• bei Fahrt nach Westen:
  • $\alpha_{AK} = 360^\circ - \alpha$
  • $\alpha_{EK} = 180^\circ + \beta$

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der polnächste Punkt des Großkreises.

$$\cos(|\varphi_S|) = \cos(\varphi_A)\sin(\alpha) = \cos(\varphi_B)\sin(\beta)$$

Für den Längenunterschied zum Scheitelpunkt gilt:

$$\tan(|\Delta \lambda_{AS}|) = \frac{1}{\sin(\varphi_A)\tan(\alpha)}$$ $$\tan(|\Delta \lambda_{BS}|) = \frac{1}{\sin(\varphi_B)\tan(\beta)}$$

Der zweite Scheitelpunkt liegt auf der Gegenhalbkugel:

$$\varphi_{S2} = -\varphi_{S1}$$ $$\lambda_{S2} = \lambda_{S1} \pm 180^\circ$$

Meridianschnitte

Für einen gewählten Meridian $\lambda_M$ ist:

$$\Delta \lambda_{SM} = \lambda_M - \lambda_S$$

Die Breite des Meridianschnitts ergibt sich zu:

$$\tan(\varphi_M) = \cos(\Delta \lambda_{SM}) \cdot \tan(\varphi_S)$$

Der tangentielle Großkreiskurs im Meridianschnitt ist:

$$\alpha = \arcsin\left(\frac{\cos(\varphi_S)}{\cos(\varphi_M)}\right)$$

Meridianschnitte sind nützlich zum Eintragen eines Großkreises in die Karte oder zum Nähern einer Großkreisroute durch einzelne loxodromische Abschnitte.

Werden die Meridianschnitte genutzt, um eine angenäherte Großkreisroute mit kursgleichen Teilstrecken zu konstruieren, ergeben sich zwischen den einzelnen Punkten Sekanten innerhalb des Großkreises.

Näherungen für Kursänderungen

Die Distanz bis zur nächsten Kursänderung um $1^\circ$ kann näherungsweise bestimmt werden mit:

$$d = \frac{60}{\tan(\varphi_A)\sin(\alpha_{AK})}\,[\text{sm}]$$

Die Änderung des Kurses nach einer vorgegebenen Distanz $d$ lautet näherungsweise:

$$\Delta \alpha[^\circ] = \frac{d\cdot\tan(\varphi_A)\cdot\sin(\alpha_{AK})}{60}$$