Bei einer reinen Großkreisroute kann der Kurs in sehr hohe Breiten führen. Wenn diese Breiten aus navigatorischen oder meteorologischen Gründen vermieden werden sollen, wird Mischsegeln geplant:

  1. Großkreis von AA bis zur zulässigen Grenzbreite φMAX\varphi_{MAX}
  2. ein loxodromischer Abschnitt auf dem Breitenparallel
  3. Großkreis von dort bis zum Bestimmungsort BB

Mischsegeln mit Grenzbreite

Meridianschnitte der Grenzbreite

Zunächst werden die Punkte XX und YY bestimmt, an denen die Route die Grenzbreite erreicht bzw. wieder verlässt.

Für den Abschnitt von AA nach XX:

ΔλAX=arccos⁡(tan⁡(φA)tan⁡(φMAX))\Delta \lambda_{AX} = \arccos\left(\frac{\tan(\varphi_A)}{\tan(\varphi_{MAX})}\right) λX=λA±ΔλAX\lambda_X = \lambda_A \pm \Delta \lambda_{AX}

Für den Abschnitt von YY nach BB:

ΔλYB=arccos⁡(tan⁡(φB)tan⁡(φMAX))\Delta \lambda_{YB} = \arccos\left(\frac{\tan(\varphi_B)}{\tan(\varphi_{MAX})}\right) λY=λB±ΔλYB\lambda_Y = \lambda_B \pm \Delta \lambda_{YB}

Großkreiswinkel und Distanzen

Die Winkel auf den beiden Großkreisbögen lauten:

Δσ1=arccos⁡(sin⁡(φA)sin⁡(φMAX))\Delta \sigma_1 = \arccos\left(\frac{\sin(\varphi_A)}{\sin(\varphi_{MAX})}\right) Δσ2=arccos⁡(sin⁡(φB)sin⁡(φMAX))\Delta \sigma_2 = \arccos\left(\frac{\sin(\varphi_B)}{\sin(\varphi_{MAX})}\right)

Die zugehörigen Distanzen in Seemeilen:

dGK=Δσ⋅60d_{GK} = \Delta \sigma \cdot 60

Breitenparalleler Abschnitt

Die Distanz zwischen XX und YY auf der Grenzbreite ergibt sich zu:

dXY=(ΔλAB−ΔλAX−ΔλYB)⋅cos⁡(φMAX)d_{XY} = (\Delta \lambda_{AB} - \Delta \lambda_{AX} - \Delta \lambda_{YB}) \cdot \cos(\varphi_{MAX})

Die Gesamtdistanz ist:

dGesamt=dGK1+dXY+dGK2d_{Gesamt} = d_{GK1} + d_{XY} + d_{GK2}

Anfangs- und Endkurse der Mischroute

Für die Großkreisstücke werden Anfangs- und Endkurse mit

α=arcsin⁡(cos⁡(φMAX)cos⁡(φA))\alpha = \arcsin\left(\frac{\cos(\varphi_{MAX})}{\cos(\varphi_A)}\right)

und

β=arcsin⁡(cos⁡(φMAX)cos⁡(φB))\beta = \arcsin\left(\frac{\cos(\varphi_{MAX})}{\cos(\varphi_B)}\right)

bestimmt.

Auf Nordbreite gilt:

  • östliche Richtung:
    • αAK=α\alpha_{AK} = \alpha
    • αEK=180∘−β\alpha_{EK} = 180^\circ - \beta
  • westliche Richtung:
    • αAK=360∘−α\alpha_{AK} = 360^\circ - \alpha
    • αEK=180∘+β\alpha_{EK} = 180^\circ + \beta

Auf Südbreite verschieben sich die Vorzeichen entsprechend.

Dieses Verfahren erlaubt es, die Vorteile der Großkreisfahrt weitgehend zu nutzen und gleichzeitig eine ungewünschte maximale Breite sicher nicht zu überschreiten.