Besteckrechnung nach Mittelbreite

Das Mittelbreitenverfahren dient zur Berechnung loxodromischer Kurse und Distanzen. Es eignet sich sowohl für die Ermittlung eines Bestimmungsortes aus Kurs und Distanz als auch für die Umkehrung, also die Bestimmung von Kurs und Distanz zwischen zwei bekannten Orten.

Grundlage ist das loxodromische Kursdreieck. Es beschreibt die Zusammenhänge zwischen den Koordinaten von Abfahrtsort $A$ und Bestimmungsort $B$.

Grundgrößen

Der Breitenunterschied lautet:

$$\Delta \varphi = \varphi_B - \varphi_A$$

Der Längenunterschied lautet:

$$\Delta \lambda = \lambda_B - \lambda_A$$

Die Breitendistanz in Seemeilen ist:

$$b = \Delta \varphi \cdot 60'$$

Die Äquatormeridiandistanz in Winkelminuten ist:

$$l = \Delta \lambda \cdot 60'$$

Für die weitere Rechnung wird die Mittelbreite benötigt:

$$\varphi_m = \frac{\varphi_A + \varphi_B}{2} \qquad \text{bzw.} \qquad \varphi_m = \varphi_A + \frac{\Delta \varphi}{2}$$

Abweitung

Die Längendifferenz wird im ebenen Dreieck nicht direkt benutzt, sondern über die Abweitung $a$, also den Abstand zweier Meridiane auf dem betreffenden Breitenparallel:

$$a = l \cdot \cos(\varphi_m)$$

Umgekehrt gilt:

$$l = \frac{a}{\cos(\varphi_m)}$$

Gelegentlich wird dafür auch der Sekans verwendet:

$$l = a \cdot \sec(\varphi_m)$$

Distanz und Kurs

Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt für die loxodromische Distanz:

$$d_{Lox} = \sqrt{a^2 + b^2}$$

alternativ:

$$d_{Lox} = \frac{b}{\cos(\alpha_{Lox})}$$

Der quadrantale Kurs ergibt sich beispielsweise aus:

$$\alpha' = \arccos\left(\frac{b}{d_{Lox}}\right)$$

Je nach Quadrant muss daraus anschließend der vollkreisige loxodromische Kurs gebildet werden:

• Bei nördlichen Kursen mit positivem $\alpha'$ ist $\alpha_{Lox} = \alpha'$
• Bei nördlichen Kursen mit negativem $\alpha'$ ist $\alpha_{Lox} = 360^\circ - \alpha'$
• Bei südlichen Kursen gilt $\alpha_{Lox} = 180^\circ - \alpha'$

Das Mittelbreitenverfahren ist besonders nützlich, wenn die Strecke nicht zu groß und der Breitenunterschied vergleichsweise klein ist.