Semiversus-Verfahren

Um die Winkel im sphärisch-astronomischen Grunddreieck zu lösen, hat man vor der Nutzung von Taschenrechnern und auch vor den amerikanischen Sight Reduction Tables PUB. 229/249 Berechnungen mit logarithmischen Tabellen durchgeführt.

Das Verfahren nutzt logarithmische Tabellen mit fünf Stellen hinter dem Komma und spielt heute aufgrund seiner Komplexität praktisch keine Rolle mehr.

Der Vollständigkeit halber lohnt sich dennoch ein Blick auf dieses klassische Verfahren. Es ist auch nicht besonders leicht, darüber noch Einzelheiten zu erfahren, da es in heutigen Lehrbüchern der astronomischen Navigation meist nicht mehr behandelt wird.

In dieser Abhandlung werden deshalb auch einige mathematische Hintergründe mit beleuchtet.

Logarithmische Berechnung der Höhe

Aus den Vorbetrachtungen kennen wir die Zusammenhänge im sphärisch-astronomischen Grunddreieck.

Aus dem Kosinus-Seitensatz

$$\cos(c)\ =\ \cos(a)\cdot\cos(b)+\sin(a)\cdot\sin(b)\cdot\cos(\gamma)$$

leiten sich die Formeln ab:

$$\sin(h)\ =\ \sin(\varphi)\cdot\sin(\delta)+\cos(\varphi)\cdot\cos(\delta)\cdot\cos(t)$$

und als Zeitazimut

$$\tan(Z)\ =\ \frac{-\sin(t)}{\cos(\varphi)\cdot\tan(\delta)-\sin(\varphi)\cdot\cos(t)}$$

Diese Formeln, die uns heute im Zeitalter von Taschenrechnern und Computern natürlich keine Probleme mehr bereiten, waren vor 100 Jahren eine Herausforderung.

Schlaue Mathematiker haben sich dieses Problems angenommen und über die Definition einer Hilfsfunktion $\sin^2(a/2)$ einfachere Formeln gefunden, die unter Anwendung überschaubarer Tafelwerke in absehbarer Zeit zu lösen waren.

Die verwendete Hilfsfunktion ist als Semiversus-Funktion in die nautische Mathematik eingegangen:

$$\operatorname{sem}(a)\ =\ \sin^2(a/2)$$

Unter Anwendung der Semiversus-Funktion wurden unter Einführung von zwei Hilfsgrößen $y$ und $z$ sowie unter Anwendung der Lehrsätze der sphärischen Trigonometrie folgende Zusammenhänge gefunden:

$$\operatorname{sem}(y)\ =\ \operatorname{sem}(t)\cdot\cos(\varphi)\cdot\cos(\delta)$$ $$\operatorname{sem}(z)\ =\ \operatorname{sem}(y)+\operatorname{sem}(\varphi-\delta)$$ $$h\ =\ 90^\circ-z$$

Die dabei noch auftretenden Multiplikationen von Zahlen mit fünf Dezimalstellen werden nach gutem alten mathematischen Brauch per Logarithmenrechnung auf Additionen reduziert.

Die Logarithmierung erfolgt zur Basis 10. In den nautischen Tafeln werden die Werte aus praktischen Gründen jeweils um 10 erhöht.

Also zum Beispiel:

• $\log \cos(50^\circ) = 10 + \log_{10}(0{,}64278761) = 9{,}808067$
• $\log \operatorname{sem}(70^\circ) = 10 + \log_{10}(\sin^2(35^\circ)) = 10 + \log_{10}(0{,}3289899) = 9{,}51718$

Bei Additionen dieser Logarithmenwerte sind die vielfachen von 10 wieder abzuziehen, so dass das Ergebnis ebenfalls nur der um 10 erhöhte Basiswert ist.

Tafelwerke

Hier stellt sich die Frage, welche nautischen Tafeln dafür verwendet werden können.

Früher wurde hier in Deutschland gerne zu den „Fulst Nautische Tafeln“ gegriffen. Dieses Werk wird jedoch schon lange nicht mehr aufgelegt und ist heute nur noch gebraucht zu bekommen.

Mein „jüngstes“ Exemplar ist aus dem Jahr 1972.

Nach wie vor aufgelegt wird dagegen die englische Ausgabe „Norie’s Nautical Tables“, zuletzt 2022, Stand 2023.

Dieses Tafelwerk ist mit knapp 600 Seiten etwa dreimal so umfangreich wie der Fulst mit seinen 220 Seiten. Die Semiversus-Tabellen, dort „Haversines“ genannt, haben dafür eine Winkelauflösung von 0,2′, während der Fulst sich mit vollen Winkelminuten begnügt.

Verfahren

Bestimmung der Grundgrößen

Zunächst werden, wie in jedem Höhendifferenzverfahren, die notwendigen Grundgrößen für die Berechnung der Höhe und des Azimuts bestimmt:

• Ortsstundenwinkel $t$ in halbkreisiger Form, also $t_W$ oder $t_E$
• Deklination $\delta$
• Breite $\varphi$

Berechnung der Höhe nach Semiversus

1. Ermittlung des Semiversus des Ortsstundenwinkels und dessen Logarithmus nach nautischer Tafel, um 10 erhöht
2. Ermittlung des Kosinus der Breite und dessen Logarithmus nach nautischer Tafel, um 10 erhöht
3. Ermittlung des Kosinus der Deklination und dessen Logarithmus nach nautischer Tafel, um 10 erhöht
4. Summe der obigen Logarithmen bilden und 20 abziehen
5. Ergebnis entlogarithmieren
6. Semiversus der Differenz $\varphi-\delta$ ermitteln
7. Summe bilden
8. Vom Semiversus auf den Winkel der Zenitdistanz schließen
9. Die Zenitdistanz von $90^\circ$ abziehen und so die Höhe erhalten

Beispiel:

Es ist folgende Gleichung zu berechnen:

$$\operatorname{sem}(x)\ =\ \operatorname{sem}(30^\circ)\cdot\cos(20^\circ)\cdot\cos(40^\circ)$$

Winkelfunktion	Log Winkelfunktion	Normierte Log Winkelfunktion
$\operatorname{sem}(30^\circ) = 0{,}066987298$	$-1{,}174007539$	$8{,}825992461$
$\cos(20^\circ) = 0{,}939692621$	$-0{,}027014184$	$9{,}972985816$
$\cos(40^\circ) = 0{,}766044443$	$-0{,}115746033$	$9{,}884253967$
Summe der Logarithmen		$28{,}68323224$
		$-20{,}0$
$\operatorname{sem}(x) = 0{,}048220559$	$-1{,}316767756$	$8{,}683232244$

Aus $\operatorname{sem}(x) = 0{,}048220559$ ergibt sich

$$x = 25{,}37011737^\circ \approx 25^\circ 22{,}2'$$

Bleibt noch anzumerken, dass der Ortsstundenwinkel in diesen Berechnungen als halbkreisiger Winkel angesetzt wird:

• Ein Ortsstundenwinkel von $0^\circ$ bis $180^\circ$ ist westlich und wird mit dem Symbol $t_W$ dargestellt.
• Ortsstundenwinkel von $180^\circ$ bis $360^\circ$ werden, wie bei den Längengraden, von $360^\circ$ abgezogen und als östliche Ortsstundenwinkel $t_E$ dargestellt.

Azimut mit ABC-Tafeln

Das Azimut eines Gestirns wird benötigt, um die Höhendifferenz-Standlinie zu zeichnen. Es kann aber auch zur Kompasskontrolle dienen oder das Auffinden eines Fixsterns oder Planeten erleichtern.

Auch das Azimut wird über Ortsstundenwinkel, Breite und Deklination berechnet und kann über die ABC-Tafeln bestimmt werden.

Die ABC-Tafeln bestehen aus drei Teilen A, B und C. Ihrem Hintergrund liegen folgende Formeln zugrunde:

• $A = -\tan(\varphi) / \tan(t)$
• $B = -\tan(\delta) / \sin(t)$
• $A + B = C = 1 / (\tan(Az)\cdot\cos(\varphi))$

Beim Entnehmen der Werte müssen die Vorzeichen berücksichtigt werden, die am Rand der Tafeln vorgegeben sind.

Tafel C liefert schließlich das Azimut im viertelkreisigen Format.

Tafel A

• Eingänge sind Ortsstundenwinkel $t$ und Breite $\varphi$
• $A$ wird negativ, wenn der Ortsstundenwinkel spitz, also kleiner als $90^\circ$, wird

Tafel B

• Eingänge sind Ortsstundenwinkel $t$ und Deklination $\delta$
• $B$ ist positiv, wenn Breite und Deklination gleichnamig sind

Tafel C

• Man bildet die Summe $C = A + B$ und geht mit diesem Wert und der Breite $\varphi$ in die C-Tafel
• Dort findet man das viertelkreisige Azimut
• Ist die Summe $C$ positiv, so ist das Azimut mit der Breite gleichnamig; ist $C$ negativ, so sind Azimut und Breite ungleichnamig