Gegeben sind ein Abfahrtsort und ein loxodromischer Kurs. Gesucht werden der Längengrad und die Distanz, bei denen eine vorgegebene Zielbreite erreicht wird.

Besteckrechnung bis zu einer bestimmten Breite

Rechengang

  1. Vergrößerte Breiten von Anfangs- und Zielbreite:
ΦA=10.800π⋅ln⁡tan⁡(45∘+φA2)\Phi_A = \frac{10.800}{\pi}\cdot\ln\tan\left(45^\circ+\frac{\varphi_A}{2}\right) ΦB=10.800π⋅ln⁡tan⁡(45∘+φB2)\Phi_B = \frac{10.800}{\pi}\cdot\ln\tan\left(45^\circ+\frac{\varphi_B}{2}\right)
  1. Differenz der vergrößerten Breiten:
ΔΦ=ΦB−ΦA\Delta \Phi = \Phi_B - \Phi_A
  1. Meridianabstandsverhältnis und Längenunterschied:
l∗=ΔΦ⋅tan⁡(αLox)l^\ast = \Delta \Phi \cdot \tan(\alpha_{Lox}) Δλ=l∗60′\Delta \lambda = \frac{l^\ast}{60'}
  1. Länge des Zielortes:
λB=λA+Δλ\lambda_B = \lambda_A + \Delta \lambda
  1. Breitenunterschied und Breitendistanz:
Δφ=φB−φA\Delta \varphi = \varphi_B - \varphi_A b=Δφ⋅60′b = \Delta \varphi \cdot 60'
  1. Distanz:
dLox=bcos⁡(αLox)d_{Lox} = \frac{b}{\cos(\alpha_{Lox})}

Beispiel

Von etwa 26∘N26^\circ N, 16∘W16^\circ W soll auf Kurs 240∘240^\circ zunächst eine Grenzbreite von 13∘13′N13^\circ 13' N erreicht werden.

Aus den vergrößerten Breiten ergibt sich:

ΦA=1616,5ΦB=800,1⇒ΔΦ=816,4\Phi_A = 1616{,}5 \qquad \Phi_B = 800{,}1 \qquad \Rightarrow \qquad \Delta \Phi = 816{,}4 l∗=816,4⋅tan⁡(240∘)=1413,35l^\ast = 816{,}4 \cdot \tan(240^\circ) = 1413{,}35 Δλ=23,56∘\Delta \lambda = 23{,}56^\circ

Der Zielmeridian lautet damit näherungsweise:

λB=39∘33,6′ W\lambda_B = 39^\circ 33{,}6' \,W

Für die Distanz folgt aus dem Breitenunterschied:

Δφ=−12,78∘⇒b=766,8′\Delta \varphi = -12{,}78^\circ \qquad \Rightarrow \qquad b = 766{,}8' dLox≈3094 smd_{Lox} \approx 3094\,\text{sm}

So lässt sich der Punkt bestimmen, an dem auf der Route eine vorgegebene Breite erreicht wird.