Besteckrechnung nach Vergrößerter Breite

Bei großen Breitenunterschieden und auf hohen Breitengraden wird das Mittelbreitenverfahren ungenau. Dann wird mit der vergrößerten Breite gerechnet. Dieses Verfahren bildet das loxodromische Dreieck in der Mercatorkarte ab.

Für Kurse nahe $090^\circ$ oder $270^\circ$ ist es allerdings ungeeignet; dort bleibt die Rechnung nach Mittelbreite vorteilhaft.

Geometrische Idee

Im vergrößerten Kursdreieck steht die vertikale Kathete für den Unterschied der vergrößerten Breiten $\Delta \Phi$, die horizontale Kathete für das Meridianabstandsverhältnis $l^\ast$.

Damit gilt:

$$\tan(\alpha_{Lox}) = \frac{l^\ast}{\Delta \Phi}$$

und umgestellt:

$$l^\ast = \Delta \Phi \cdot \tan(\alpha_{Lox})$$

Das Meridianabstandsverhältnis ist praktisch die in Winkelminuten ausgedrückte Längendifferenz in der Mercatorabbildung.

Vergrößerte Breite

Die vergrößerte Breite $\Phi$ ergibt sich aus:

$$\Phi = \frac{10.800}{\pi} \cdot \ln \tan\left(45^\circ + \frac{\varphi}{2}\right)$$

Die Differenz zweier vergrößerter Breiten ist:

$$\Delta \Phi = \Phi_B - \Phi_A$$

Die Rechnung mit $\Phi$ beschreibt direkt die Geometrie der Mercatorkarte und liefert deshalb auf größeren Strecken bessere Ergebnisse als die einfache Mittelbreite.

Einsatzgebiet

Das Verfahren ist insbesondere dann sinnvoll, wenn:

• der Breitenunterschied groß ist
• auf hohen Breiten gefahren wird
• die Strecke weiterhin loxodromisch betrachtet werden soll

Die folgenden Artikel zeigen die erste und zweite Aufgabe der Besteckrechnung sowie Sonderfälle mit vorgegebenem Zielbreitengrad oder Ziellängengrad.