Zweite Aufgabe der Besteckrechnung nach Vergrößerter Breite

Die zweite Aufgabe der Besteckrechnung dient dem Absetzen eines Kurses in der Seekarte.
Demnach sind Abfahrtsort und Bestimmungsort bekannt, Kurs und Distanz sind gesucht.

Aus Abfahrts- und Bestimmungsort werden der Breitenunterschied Δφ und der Längenunterschied Δλ in Grad berechnet:
$\begin{equation*} \Delta \varphi \ =\ \varphi _{B}\ -\ \varphi _{A} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \Delta \lambda \ =\ \lambda _{B}\ -\ \lambda _{A} \end{equation*}$
Aus dem Breitenunterschied Δφ in Grad wird der Breitenunterschied b in Winkelminuten bestimmt:
$\begin{equation*} b=\Delta \varphi \cdot 60\text{{\textquotesingle}} \end{equation*}$

Aus dem Längenunterschied Δλ wird das Meridianabstandsverhältnis l^* in Winkelminuten ermittelt:

$\begin{equation*} l^{\mathit{*}}=\Delta \lambda \cdot 60\text{{\textquotesingle}} \end{equation*}$
Für die geographischen Breiten von Anfangsort φ_A und Bestimmungsort φ_B werden die Vergrößerten Breiten Φ_A und Φ_B bestimmt:
$\begin{equation*} \Phi _{A}\ =\ \frac{10.800}{\pi }\cdot \ln \tan\left(45{}^{\circ}+\frac{\varphi _{A}}{2}\right) \end{equation*}$

$\begin{equation*} \Phi _{B}\ =\ \frac{10.800}{\pi }\cdot \ln \tan\left(45{}^{\circ}+\frac{\varphi _{B}}{2}\right) \end{equation*}$
Die Differenz der der vergrößerten Breiten ΔΦ wird gebildet:
$\begin{equation*} \Delta \Phi \ =\ \Phi _{B}\ -\ \Phi _{A} \end{equation*}$
Aus dem Meridianabstandsverhältnis und der Differenz der Vergrößerten Breiten wird der loxodromische Kurs α_Lox ermittelt:
$\begin{equation*} \alpha _{\mathit{Lox}}=\arctan \left(\frac{l^{\mathit{*}}}{\Delta\Phi }\right) \end{equation*}$
Die loxodromische Distanz d_Lox wird bestimmt:
$\begin{equation*} d_{\mathit{Lox}}\ =\ \frac{b}{\cos (\alpha_{\mathit{Lox}})} \end{equation*}$

Man steht in der Lübecker Bucht auf φ_A = 54° 00,0′ N, λ_A = 010° 50,0′ E und setzt Kurs auf einen Punkt nördlich
Bornholm ab:
φ_B = 55° 20,0′ N, λ_B = 014° 49,7′ E
Wie lauten loxodromischer Kurs und Distanz?

Berechnung nach Verfahren der Vergrößerten Breite:

Aus Abfahrts- und Bestimmungsort werden der Breitenunterschied Δφ und der Längenunterschied Δλ in Grad berechnet:
$\Delta \varphi \ =\ \varphi _{B}\ -\ \varphi _{A}\ =\ 55{}^{\circ}\ 20\text{{\textquotesingle}}N\ -\ 54{}^{\circ}\ 00\text{{\textquotesingle}}N\ =\ 1{}^{\circ}\ 20\text{{\textquotesingle}}$
$\Delta \lambda \ =\ \lambda _{B}\ -\ \lambda _{A}\ =\ 014{}^{\circ}\ 49,7\text{{\textquotesingle}}E\ -\ 010{}^{\circ}\ 50,0\text{{\textquotesingle}}E\ =\ {3}^{\circ}\ 59,7\text{{\textquotesingle}}$
Bestimmung des Breitenunterschied b und des Meridianabstandsverhältnisses l^*:
$b=\Delta \varphi \cdot 60\text{{\textquotesingle}}\ =\ 1{}^{\circ}20\text{{\textquotesingle}}\cdot 60\ =\ 80\text{{\textquotesingle}}$
$l^{\mathit{*}}=\Delta \lambda \cdot 60\text{{\textquotesingle}}\ =\ 3{}^{\circ}59,7\text{{\textquotesingle}}\cdot 60\ =\ 239,7\text{{\textquotesingle}}$
Berechnung der Vergrößerten Breiten Φ_A und Φ_B:
$\Phi _{A}\ =\ \frac{10.800}{\pi }\cdot \ln \tan \left(45{}^{\circ}+\frac{\varphi _{A}}{2}\right)\ =\ \frac{10.800}{\pi}\cdot \ln \tan \left(45{}^{\circ}+\frac{54}{2}\right)\ =\ 3.864,6$
$\Phi _{B}\ =\ \frac{10.800}{\pi }\cdot \ln \tan \left(45{}^{\circ}+\frac{\varphi _{B}}{2}\right)=\frac{10.800}{\pi}\cdot \ln \tan \left(45{}^{\circ}+\frac{55,33}{2}\right)\ =\ 4.003,0$
Berechnung der Differenz ΔΦ:
$\Delta \Phi \ =\ \Phi _{B}\ -\ \Phi_{A}\ =\ 4.003\ -\ 3.864,6\ =\ 138,4$
Bestimmung des Loxodromische Kurses α_Lox:
$\alpha _{\mathit{Lox}}=\arctan \left(\frac{l^{\mathit{*}}}{\Delta \Phi }\right)\ =\ \arctan \left(\frac{239,7}{138,4}\right)\ =\ 60{}^{\circ}$
Bestimmung der Loxodromischen Distanz d_Lox:
$d_{\mathit{Lox}}\ =\ \frac{b}{\cos (\alpha _{\mathit{Lox}})}\ =\ \frac{80}{\cos (60{}^{\circ})}\ =\ 160\mathit{sm}$

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